Տիգրան Այունցը ծնվել է 2003 թվականի նոյեմբերի 8-ին, Վրաստանի Ախալքալաք քաղաքում։ Ֆուտբոլով սկսել է զբաղվել 11 տարեկանից՝ հաճախելով «Բանանցի» (այժմ՝ «Ուրարտու») մանկապատանեկան դպրոց։
2019-ին «Ուրարտու-03» պատանեկան թիմում դարձել է Հայաստանի գավաթակիր։ Նույն տարում մինչև 18 տարեկանների միջև կայացած առաջնությունում արժանացել է «Լավագույն պաշտպան» մրցանակին։
Այվազյանը հրավիրվել է նաև Հայաստանի Մ-18 և Մ-19 տարեկանների հավաքականներ։
2020-ի փետրվարին 17-ամյա ֆուտբոլիստը առաջին անգամ հանդես եկավ «Ուրարտու-2»-ի կազմում, որտեղ սկսեց հաճախ խաղաժամանակ ստանալ, իսկ 9 ամիս անց նա առաջին պաշտոնական հանդիպումն անցկացրեց արդեն «Ուրարտուի» գլխավոր թիմի կազմում։