Տիգրան Այունցը ծնվել է 2000 թվականի մարտի 15-ին, Երևանում։ Ֆուտբոլով սկսել է զբաղվել 6 տարեկանից՝ հաճախելով «Միկայի» մանկապատանեկան մարզադպրոց։ 2016 թվականին Այունցը տեղափոխվում է «Բանանց» (այժմ՝ «Ուրարտու»), որտեղ նախ հանդես է գալիս «Ուրարտուի» երկրորդ թիմում, այնուհետև ընդգրկվում գլխավոր թիմի կազմում։ 21-ամյա կիսապաշտպանը առաջին պաշտոնական հանդիպումն «Ուրարտուի» կազմում անցկացրել է VBET Հայաստանի Պրեմիեր լիգայի 12-րդ տուրում` «Շիրակի» դեմ։
Այունցը հանդես է եկել նաև Մ-15, Մ-16, Մ-17 և Մ-19 տարեկանների հավաքականներում։