Евгений Осипов родился 29 октября 1986 года в российском городе Темрюк Краснодарского края.

Футболом начал заниматься с раннего детства, посещая местную детско-юношескую школу. В 1996 году он играл в Академии футбольного клуба «Кубань». Вместе с этой командой в 2006 году он принимал участие в первенстве Краснодарского края.

Первой профессиональной командой русского защитника стал ФК «Оренбург» (в то время «Газовик»). В 2010 году Осипов переходит в футбольный клуб «Жемчужина-Сочи», в составе которого в сезоне он был признан «Лучшим защитников Первого дивизиона». В 2010 и 2011 гг. был включен в тройку лучших игроков первенства ФНЛ.

В 2011 году защитник переходит в ФК «Мордовия», в тот же год команда одерживает победу в ФНЛ и получает путевку в Российскую Премьер-лигу. Затем Евгений Осипов подписывает контракт с футбольным клубом «Уфа», в составе которого также выходит в Премьер-лигу.

Русский защитник также выступал в таких клубах как тульский «Арсенал» и «Мордовия Саранск», литовском ФК «Ритеряй».

Предыдущей командой Осипова был эстонский клуб Высшей лиги «Левадия», в составе которого он стал вице-чемпионом Эстонии. В прошлом сезоне российский центральный защитник принял участие в 34 матчах и стал автором 7 голов.

Зимой 2020 года Осипов подписал контракт c ереванским футбольным клубом «Урарту».

2-го марта 2020 года он отметил свой дебют в официальных матчах в составе ереванской команды в матче 16 тура Высшей лиги чемпионата Армении против ФК «Лори» (2-0).