Կարեն Մելքոնյանը ծնվել է 1999թ-ի մարտի 25-ին, Երևան քաղաքում։ Ֆուտբոլիստը համարվում է ակումբի սան։ 

Ֆուտբոլիստն ամբողջ կարիերայի ընթացքում հանդես է գալիս «Ուրարտուի» կազմում։ 2022 թվականին Մելքոնյանը «Ուրարտուի» կազմում դարձավ Հայաստանի գավաթի արծաթե մեդալակիր։ Մեկ տարի անց՝ նրա գոլի շնորհիվ, «Ուրարտուն» դարձավ Հայաստանի գավաթակիր, ինչպես նաև հռչակվեց Հայաստանի չեմպիոն։ 

2024 թվականին Մելքոնյանը ևս մեկ գավաթային եզրափակչի մասնակցեց «Ուրարտուի» կազմում, որտեղ կրկին նվաճեց արծաթե մեդալ։