Периша Пешукич родился 7-го декабря 1997 года в Подгорице, столице Черногории.
Пешукич начал свою профессиональную карьеру футболиста в клубе «Зета», где был игроком академии и перешел в основную команду в 2014 году. Отыграв за «Зета» три года, Периша провел сезон-2018/19 в «Рударе», а затем в «Будучность». После 6 месяцев, он пополнил ряды сербского «Партизана». До 2023 года Пешукич играл в других командах на правах аренды. Летом того же года Песукич перешел в ереванский «Урарту».